Firefoxは基本的に、超低スペックのパソコンでも問題なく使えます。
基本的に、と言ったのには、パソコンが重くなるとプラグインがクラッシュしやすいという欠点があるからです。でもクラッシュしたからといって、そのプラグインが使えなくなるわけではないから、そこまで気にする必要はないかもしれません。
ヘルプは充実しているので、ほとんどの問題は解決できるでしょう。

超低スペックのパソコンを利用すると、使えるブラウザは自然と限られてしまいます。いちばんのおすすめは、このFirefoxです。セキュリティ対策や軽さ、ヘルプの充実、アドオンの豊富さという魅力があります。

少し前まではOperaを使っていました。
これはとても軽くて、パソコンが重くなってもプラグインがクラッシュされず、前もってスピードダイアルが備えていて、ブックマークを公式コミュニティに同期できるという点に惹かれました。
しかし同期については、サーバー上によく不具合が起こっていました。公式コミュニティのスピードダイアルのページにアクセスしようとするとエラーページが表示されて、ヘルプを見ても結局解決できませんでした。
ブラウザ自体に、いくつか問題があるようです。

Google Chromeも、低スペックのパソコンでも使えると言いますが、ある程度のスペックは必要らしいので超低スペックのパソコン向きでは決してないです。